応用数学とは―回帰直線、相関係数などの基礎から解説、問題も。
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応用数学
応用数学とは何かをテーマにオリジナル教科書＆情報処理試験の問題解説をまとめています。回帰直線、相関係数、漸化式、微分、接線の方程式など基礎からフォローしています。
応用数学とは
応用数学とは、数学的知識を他分野に適用することを主眼とした数学の分野の総称をいいます。 応用数学を学習するためには、確率・統計の計算、分析手法の修得し、応用する、数値解析、グラフ理論、待ち行列理論など、数学的原理を習得し、応用する、などの学習がが必要です。
以下では応用数学をテーマにオリジナル教科書＆情報処理試験の問題解説をまとめて行きます。
目次
この記事の目次になります。
1. 確率と統計
2. 数値計算
4. 数式処理
6. 待ち行列理論
1. 確率と統計
順序と組み合わせなど確率と統計についてまとめていきます。
確率
確率は、偶然にものごとが起こる程度を数量として表現する方法です。確率について見ていきます。
順列と組み合わせ
ある事象が何通りの起こり方があるか、場合の数の数え方には順列と組み合わせがあります。 順列pと組み合わせcの違いや計算などをまとめています。
ポアソン分布
ポアソン分布は、まれな事象がある時間間隔で発生する回数を表す離散確率分布です。
統計
統計について見ていきます。
相関係数
相関係数とは、以下のような散布図（比較する複数xとyの値をプロットした図）に現われる相関の程度（正or負、強or弱）を定量的に示す統計値です。
回帰直線
回帰直線とは、xの値からyの値を推測する際に使用する回帰式（モデル）によって引かれる線のことです。
Javaで学ぶ計算プログラム入門
Javaで学ぶ計算プログラムの入門コンテンツをテーマに記事まとめています。 簡単な平均値の計算プログラムから知識を補足しつつ系統立てて説明しています。 標準偏差、相関係数、連立方程式の解法プログラム、回帰分析などの統計解析などの計算プログラムを取り扱っています。
統計に関連したIPA情報処理試験の過去問題
以下では統計に関連したIPA情報処理試験の過去問とその解説をまとめています。
確率と統計に関連した参考書籍
- Amazon）これだけは知っておこう!統計学 (有斐閣ブックス)
2. 数値計算
連立一次方程式の解法など、数値計算に関する基本的な内容をまとめていきます。
近似公式
近似公式について見ていきます。
（1+α)n≒1+n×α （｜α｜≪1）
｜α｜が1よりも非常に小さい場合、（1+α)nの計算を、1+n×αで近似計算ができます。 式で表すと以下になります。≪は非常に小さいの意味です。
（1+α)n≒1+n×α （｜α｜≪1）
解説
n=1,2,3のときの値を考えてみます。
n=1のとき、同値になります。
（1+α)1＝1+1×α
1+α＝1+α
n=2のとき、αが小さいほど両辺が近い値になります。
（1+α)2＝1+2×α
1+2α+α2＝1+2α
α2＝0
αが小さくなればなるほど両辺の値が近くなるので、｜α｜が1よりも非常に小さい場合、（1+α)nの計算を、1+n×αで近似計算できます。
漸化式
漸化式とは、項を次々と変えていく等式のことをいいます。
例えば、以下はある細菌の第n 世代の個数f(n)が1世代後にどのように変化するかを表現した漸化式になります。
f (n+1)+0.2×f(n)=2×f (n)
この漸化式の解釈として、1世代後の個数は、第n世代の個数の1．8倍に増えると説明できます。 現世代の個数（f(n))と1世代後の個数（f(n+1)）の関係がわかるように式を整理すると1世代後の個数（f(n+1)）は、現世代の個数（f(n))の1.8倍であることがわかります。
f (n+1)+0.2×f(n)=2×f (n)
f (n+1)=2×f (n)-0.2×f(n)
f (n+1)=1.8f (n)
数値計算に関連したIPA情報処理試験の過去問題
以下では数値計算に関連したIPA情報処理試験の過去問とその解説をまとめています。
4. 数式処理
微分など数式処理についてまとめていきます。
微分
微分とは、ある関数からその関数の変化量を表す導関数を求めることをいいます。
導関数
導関数とは、簡単にいうとある関数の瞬間の変化率のことで、わかりやすく言うとある関数の増減を表す関数です。 英語でderivationといい、ある関数を微分して得られる関数のことをいいます。
接線
接線とは、英語でtangentといい、曲線または曲面と一点を共有する直線のことをいいます。
接線は、曲線の変化率と傾きが等しい曲線に接する直線で、ライプニッツは接線を、曲線上の無限に近い二点を通る直線として定義しています。
接線の方程式
f'(x)がf(x)の導関数であるとき、f'(x0)はf(x0)の点での接線の傾きで、接線の方程式は、次の式により求められます。
y＝f'(x0)(x－x0)＋f(x0)
数式処理に関連したIPA情報処理試験の過去問題
以下では数式処理に関連したIPA情報処理試験の過去問とその解説をまとめています。
6. 待ち行列理論
待ち行列モデルの構成要素、考え方、M/M/1モデルにおける計算、乱数を使用したシミュレーションを理解していきます。
もっと知識を広げるための参考
更新履歴
- 2023/7/14 基礎数学について追記しました。
- 2021/11/26 ポワソン分布について追記しました。
- 2018/7/15 Javaで学ぶ計算プログラムの入門コンテンツについて追記しました。
- 2017/11/16 確率と統計に関連した参考書籍について追記しました。
- 2017/7/30 導関数について追記しました。
- 2017/7/05 接線について追記しました。
- 2017/7/01 統計について追記しました。
- 2017/5/11 漸化式について追記しました。
- 2017/5/09 数値計算について追記しました。
- 2017/3/25 微分について追記しました。